ネーターの定理（時間変換を含む形）

定理 5.3（「対称性と保存則」§5）・ ✓公理まで証明済み

$L(q,\dot q,t)$ を $C^2$ 級とする。 $C^2$ 級の族 $T(s;q,t)$ 、 $Q^i(s;q,t)$ が $T(0;q,t) = t$ 、 $Q^i(0;q,t) = q^i$ を満たすとし、生成子を

\tau(q,t) = \frac{\partial T}{\partial s}(0;q,t), \qquad \zeta^i(q,t) = \frac{\partial Q^i}{\partial s}(0;q,t)

とする。さらに、ある $C^1$ 級関数 $F(q,t)$ が存在して、任意の $C^2$ 級曲線 $q(\cdot)$ について

\frac{\partial}{\partial s}\bigg|_{s=0} \left[ L\!\left( Q,\ \frac{dQ/dt}{dT/dt},\ T \right) \frac{dT}{dt} \right] = \frac{d}{dt}F\big(q(t),t\big)

が成り立つとする（ $Q, T$ の引数は $(s; q(t), t)$ 、 $d/dt$ は曲線に沿う全微分）。このとき

I = \sum_{i=1}^{n} p_i\,\zeta^i \;-\; h\,\tau \;-\; F, \qquad p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i},\quad h = \sum_i \dot q^i p_i - L

は保存量である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。