数学 › 線形代数学 › 行列の固有値評価と不等式

スタイン方程式

定理 7.4（「行列の固有値評価と不等式」§7）・ ✓公理まで証明済み

$C\in M_n(\mathbb{C})$ が $\rho(C)<1$ を満たすとする。任意の正定値エルミート行列 $Q'$ に対し、方程式

X-C^{*}XC=Q'

はただ一つの解 $X$ をもち、 $X=\sum_{k=0}^{\infty}(C^{*})^kQ'C^k$ は正定値エルミート行列である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトル半径が 1 未満なら冪は幾何級数的に減衰する✓補題 7.3・行列の固有値評価と不等式
- シュール分解✓定理 3.1・行列の分解と標準形
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

リャプノフの安定性定理✓定理 7.5・行列の固有値評価と不等式