数学 › 線形代数学 › 行列の固有値評価と不等式

リャプノフの安定性定理

定理 7.5（「行列の固有値評価と不等式」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(\mathbb{C})$ について次は同値である。

$A$ のすべての固有値の実部が負である。
任意の正定値エルミート行列 $Q$ に対し、 $A^{*}X+XA=-Q$ はただ一つの解 $X$ をもち、それは正定値エルミート行列である。
ある正定値エルミート行列 $Q,X$ について $A^{*}X+XA=-Q$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スタイン方程式✓定理 7.4・行列の固有値評価と不等式
- スペクトル半径が 1 未満なら冪は幾何級数的に減衰する✓補題 7.3・行列の固有値評価と不等式
  - シュール分解✓定理 3.1・行列の分解と標準形
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。