ルートの整数性と鎖の性質

$\alpha,\beta\in\Phi$ とする。

1. $\dim\mathfrak{g}_\alpha=1$ であり、$\alpha$ の複素数倍で $\Phi$ に入るのは $\pm\alpha$ だけである。
2. $\langle\beta,\alpha^\vee\rangle\in\mathbb{Z}$ であり、$\beta-\langle\beta,\alpha^\vee\rangle\alpha\in\Phi$。
3. $\beta\ne\pm\alpha$ とし、$r,q\ge0$ を $\beta-r\alpha,\dots,\beta+q\alpha$ がすべてルートで $\beta-(r+1)\alpha,\beta+(q+1)\alpha$ がルートでないような最大の整数とすると、この間にルートでないものはなく（$\alpha$ 鎖は途切れない）、$r-q=\langle\beta,\alpha^\vee\rangle$ である。
4. $\alpha+\beta\in\Phi$ ならば $[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta]=\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$。