数学 › 未解決問題と大定理 › Yang–Mills 理論と質量ギャップ II

強結合での面積則と相関の指数的減衰（Osterwalder–Seiler）

定理 5.1（「Yang–Mills 理論と質量ギャップ II」§5） ・ ✓公理まで証明済み

d≥2d\ge2、G=U(1)G=U(1) または SU(N)SU(N) とする。dd だけによる β0=β0(d)>0\beta_0=\beta_0(d)\gt0 があって、0≤β<β00\le\beta\lt\beta_0 で次が成り立つ。

(1) 局所観測量（有限個のリンク変数の有界可測関数）の期待値は無限体積極限 ⟨⋅⟩β\langle\cdot\rangle_\beta をもつ。極限は境界条件（自由・周期）によらず、格子の並進で不変で、β\beta について ∣β∣<β0|\beta|\lt\beta_0 で正則である。局所観測量 F1,F2F_1,F_2 の相関は、F2F_2 を格子ベクトル xx だけ平行移動するとき ∣⟨F1F2x⟩β−⟨F1⟩β⟨F2x⟩β∣≤c(F1,F2)e−∣x∣∞|\langle F_1F_2^x\rangle_\beta-\langle F_1\rangle_\beta\langle F_2^x\rangle_\beta|\le c(F_1,F_2)e^{-|x|_\infty} と指数的に減衰する。

(2) Wilson ループは面積則の上界を満たす：dd だけによる c>0c\gt0 と、σ0(β)≥log⁡2\sigma_0(\beta)\ge\log2（β→0\beta\to0 で σ0(β)=−log⁡β+O(1)\sigma_0(\beta)=-\log\beta+O(1)）があって、すべての R,T≥1R,T\ge1 で ∣⟨W(R,T)⟩β∣≤cR+Te−σ0(β)RT|\langle W(R,T)\rangle_\beta|\le c^{R+T}e^{-\sigma_0(\beta)RT}。RR と TT の少なくとも一方が奇数なら ⟨W(R,T)⟩β≥0\langle W(R,T)\rangle_\beta\ge0。

(3) 無限体積の状態は、格子点を通らない超平面（時刻 00 と 11 の中間）に関する時間反射 Θ\Theta について反射正値である。すなわち、反射面より先の時刻のリンクだけに依存するゲージ不変な局所観測量 FF について ⟨Θ(F)F⟩β≥0\langle\Theta(F)F\rangle_\beta\ge0。この半正定値形式から作った Hilbert 空間の上で、時間方向に 22 格子単位ずらす並進は自己共役な作用素 T^\hat T を定め、0≤T^≤10\le\hat T\le1（非負）で、真空ベクトル Ω=[1]\Omega=[1] は T^Ω=Ω\hat T\Omega=\Omega を満たし、Ω\Omega の直交補空間の上で T^≤e−2\hat T\le e^{-2} である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 134 件、定義なども含めて 155 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。