コンパクトだが点列コンパクトでない空間

命題 3.5（「可算性・点列・可算コンパクト性」§3）・ ✓公理まで証明済み

$I$ を、 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ から $I$ への単射が存在する集合とする（たとえば $I = \mathbb{R}$ 。 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と $\mathbb{R}$ は同じ濃度、命題 6.6［濃度と無限］。また $t \mapsto 1/2 + \arctan(t)/\pi$ は $\mathbb{R}$ から $[0, 1]$ への単射なので $I = [0, 1]$ も該当する）。このとき、各成分が離散位相の $\{0, 1\}$ である積空間 $X := \{0, 1\}^I$ はコンパクトであるが、点列コンパクトでない。とくに $\{0, 1\}^{[0,1]}$ は、コンパクトだが点列コンパクトでない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 超フィルターの補題✓定理 5.8・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

コンパクトだが点列コンパクトでない空間

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）