時間反転で偶な摂動と奇な摂動

命題 8.2（「対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退」§8）・ ✓公理まで証明済み

$H_0$ を時間反転対称、 $\Theta^2=-1$ とし、 $E_0$ を $H_0$ の固有値で固有空間が $\mathrm{span}\{\psi,\Theta\psi\}$ （ $\psi$ は単位ベクトル、2 次元）であるとする。 $M$ を有界な自己共役作用素とする。

$\Theta M\Theta^{-1}=M$ （偶）なら、 $H_0+\lambda M$ もすべての実数 $\lambda$ について時間反転対称で、そのすべての固有値は偶数重である。とくに $E_0$ から分かれて出る準位は 2 重縮退を保つ。
$\Theta M\Theta^{-1}=-M$ （奇）なら、 $\lambda$ の 1 次で準位は $E_0\pm\lambda\sqrt{a^2+|b|^2}$ に分かれる。ここで $a=\langle\psi,M\psi\rangle$ 、 $b=\langle\psi,M\Theta\psi\rangle$ 。準位の中心 $E_0$ は 1 次ではずれない。分裂が消えるのは $a=b=0$ のときに限る。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Kramers の定理✓定理 6.3・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
- エルミート演算子の固有値と固有ベクトル✓定理 3.5・演算子と物理量
  - エルミート演算子定義 3.2・演算子と物理量
- $T$ で閉じた有限次元部分空間の次元✓補題 6.2・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
  - $\psi$ と $T\psi$ は直交する✓補題 6.1・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
  - 反ユニタリ作用素の基本性質✓命題 3.2・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
    平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
- $\psi$ と $T\psi$ は直交する✓補題 6.1・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
$\psi$ と $T\psi$ は直交する✓補題 6.1・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
縮退がある場合の 1 次摂動✓定理 5.2・摂動論
- レイリー–シュレーディンガーの摂動公式✓定理 3.1・摂動論
  - 摂動されたハミルトニアン定義 2.1・摂動論
  - 中間規格化定義 2.2・摂動論

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。