各ルートに付随する sl(2)

命題 3.1（「ルート系と Weyl 群」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\Phi$ は $\mathfrak{h}^*$ を張る。
$\alpha\in\Phi$ なら $-\alpha\in\Phi$ 。
$x\in\mathfrak{g}_\alpha$ 、 $y\in\mathfrak{g}_{-\alpha}$ なら $[x,y]=\kappa(x,y)t_\alpha$ 。
$(\alpha,\alpha)=\alpha(t_\alpha)\ne0$ 。
$0\ne x_\alpha\in\mathfrak{g}_\alpha$ に対し $y_\alpha\in\mathfrak{g}_{-\alpha}$ を選んで、 $h_\alpha=[x_\alpha,y_\alpha]=\dfrac{2t_\alpha}{(\alpha,\alpha)}$ とできる。このとき $\alpha(h_\alpha)=2$ で、 $x_\alpha,y_\alpha,h_\alpha$ は $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の基底 $e,f,h$ と同じ関係式を満たす。これらが張る部分環を $\mathfrak{s}_\alpha\cong\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ と書く。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。