数学 › 高校数学：図形と幾何 › 2 次曲線

標準形と焦点半径

定理 2.2（「2 次曲線」§2）・ ✓公理まで証明済み

（放物線） $F=(p,0)$ 、 $l:x=-p$ のとき、放物線は $y^2=4px$ である。
（楕円） $a>c\ge0$ 、 $b=\sqrt{a^2-c^2}$ とすると、楕円は $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ である。このとき点 $P=(x,y)$ について $|PF_1|=a+ex$ 、 $|PF_2|=a-ex$ （ $e=c/a$ ）。
（双曲線） $c>a>0$ 、 $b=\sqrt{c^2-a^2}$ とすると、双曲線は $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ である。このとき、 $x\ge a$ の枝では $|PF_1|=ex+a$ 、 $|PF_2|=ex-a$ 、 $x\le-a$ の枝では $|PF_1|=-(ex+a)$ 、 $|PF_2|=-(ex-a)$ （ $e=c/a>1$ ）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

点と直線の距離✓定理 2.2・図形と方程式
- 内積の性質✓定理 4.1・平面ベクトルと座標
  - 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
実数の計算規則✓命題 2.2・数と式
- 一次方程式の可解性✓命題 7.1・数とは何か
  - 順序体定義 2.1・数とは何か

これを使っている定理証明で参照している 3 件

焦点・準線・離心率✓定理 3.1・2 次曲線
反射の性質✓定理 4.3・2 次曲線
2 次曲線の分類✓定理 6.1・2 次曲線

関連するノック 5 問