焦点・準線・離心率

焦点 $F=(0,0)$、準線 $l:x=q$（$q>0$）、$e>0$ に対し、$\mathcal{C}_e=\{P\mid|PF|=e\operatorname{dist}(P,l)\}$ は次のとおりである。

1. $0<e<1$：楕円。$a=\dfrac{eq}{1-e^2}$、$b=a\sqrt{1-e^2}$、中心 $(-ea,0)$、焦点 $F$ と $(-2ea,0)$。
2. $e=1$：放物線 $y^2=-2q\bigl(x-\tfrac q2\bigr)$（頂点 $(\tfrac q2,0)$、焦点 $F$、準線 $l$）。
3. $e>1$：双曲線。$a=\dfrac{eq}{e^2-1}$、$b=a\sqrt{e^2-1}$、中心 $(ea,0)$、焦点 $F$ と $(2ea,0)$。

いずれも離心率は $c/a=e$ である。逆に、標準形の楕円（$c>0$ とする。円には準線がない）・双曲線の各焦点 $(\pm c,0)$ に対し、準線 $x=\pm\dfrac{a^2}{c}$ があり、$|PF|=e\operatorname{dist}(P,l)$ が成り立つ。