反射の性質

曲線上の点 $P$ における接線の単位法線ベクトルを $\boldsymbol\nu$、単位接線ベクトルを $\boldsymbol t$ とし、$\boldsymbol u_i=\dfrac{F_i-P}{|F_i-P|}$ とする。

1. （楕円）焦点 $F_1,F_2$ について、$\boldsymbol u_1\cdot\boldsymbol\nu=\boldsymbol u_2\cdot\boldsymbol\nu$、$\boldsymbol u_1\cdot\boldsymbol t=-\boldsymbol u_2\cdot\boldsymbol t$。すなわち $F_1$ から出て $P$ で反射する光線は $F_2$ へ向かう（入射角 = 反射角）。
2. （双曲線、右の枝）$\boldsymbol u_1\cdot\boldsymbol\nu=-\boldsymbol u_2\cdot\boldsymbol\nu$、$\boldsymbol u_1\cdot\boldsymbol t=\boldsymbol u_2\cdot\boldsymbol t$。すなわち接線は $\angle F_1PF_2$ を 2 等分する。
3. （放物線 $y^2=4px$、焦点 $F=(p,0)$）軸方向の単位ベクトル $\boldsymbol e=(1,0)$ について $\boldsymbol u\cdot\boldsymbol\nu=\boldsymbol e\cdot\boldsymbol\nu$、$\boldsymbol u\cdot\boldsymbol t=-\boldsymbol e\cdot\boldsymbol t$。すなわち焦点から出た光線は $P$ で反射して軸に平行に進む。