数学 › 高校数学：数と式・整数・数列 › 多項式の割り算と高次方程式

根の個数と恒等式の原理

定理 3.1（「多項式の割り算と高次方程式」§3）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を体とする。

$0$ でない $n$ 次多項式 $f\in K[x]$ の $K$ での根は高々 $n$ 個である。
$f,g\in K[x]$ がともに次数 $n$ 以下で、相異なる $n+1$ 個の点で値が一致するならば、 $f=g$ （係数がすべて等しい）。
$K$ が無限体（ $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ ）のとき、 $f(x)=g(x)$ がすべての $x\in K$ で成り立つなら、 $f=g$ （係数がすべて等しい）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

剰余の定理・因数定理✓定理 2.3・多項式の割り算と高次方程式
- 多項式の除法の原理✓定理 2.2・多項式の割り算と高次方程式
  - 完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術
    数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術この先をたどる →
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式（上で展開済み）
代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式
- 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
一次方程式の可解性✓命題 7.1・数とは何か
- 順序体定義 2.1・数とは何か

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Lagrange 補間✓定理 3.2・多項式の割り算と高次方程式

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