数学 › 圏論・ホモロジー代数 › モナドとモノイダル圏

Eilenberg–Moore の随伴

定理 2.5（「モナドとモノイダル圏」§2）・ ✓公理まで証明済み

$(T, \mu, \eta)$ を $\mathcal{C}$ 上のモナドとする。

各 $X$ について $(TX, \mu_X)$ は $T$ 代数（自由 $T$ 代数）であり、 $F^{T}(X) = (TX, \mu_X)$ 、 $F^{T}(f) = T(f)$ は関手 $F^{T} : \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{T}$ を定める。
$F^{T} \dashv U^{T}$ で、その単位は $\eta$ 、余単位は $\varepsilon^{T}_{(A, a)} = a : (TA, \mu_A) \to (A, a)$ である。随伴の全単射は $g \mapsto g \circ \eta_X$ 、逆は $f \mapsto a \circ T(f)$ で与えられる。
この随伴が命題 2.2 で定めるモナドは $(T, \mu, \eta)$ 自身である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
- パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
  - 表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手
    自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手
    米田埋め込み✓系 3.3・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
    充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

代数の圏と同型ならモナド的✓補題 2.10・モナドとモノイダル圏