数学 › 圏論・ホモロジー代数 › モナドとモノイダル圏

リストモナドの代数はモノイド

命題 2.12（「モナドとモノイダル圏」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\mathsf{Set}$ 上で、 $TX = \bigsqcup_{n \ge 0} X^{n}$ （有限列の全体）、 $T(f)$ を成分ごとに $f$ を施す写像、 $\eta_X(x) = (x)$ 、 $\mu_X$ を列の列を順につなげる写像とする（リストモナド）。

$(T, \mu, \eta)$ はモナドである。
モノイド（結合的な二項演算と単位元をもつ小さい集合） $M$ に、 $a_M(x_1, \ldots, x_n) = x_1 x_2 \cdots x_n$ （空列は単位元 $1$ ）を対応させると $(M, a_M)$ は $T$ 代数で、これはモノイドとモノイド準同型の圏 $\mathsf{Mon}$ から $\mathsf{Set}^{T}$ への圏の同型を与える。
忘却関手 $\mathsf{Mon} \to \mathsf{Set}$ はモナド的で、左随伴は $X \mapsto (TX, \text{連結})$ （ $X$ 上の自由モノイド）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
代数の圏と同型ならモナド的✓補題 2.10・モナドとモノイダル圏
- Eilenberg–Moore の随伴✓定理 2.5・モナドとモノイダル圏
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
    パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
  - 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
- 比較関手✓定理 2.8・モナドとモノイダル圏
  - 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 2 問