比較関手

$F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ を随伴 $F \dashv G$（単位 $\eta$、余単位 $\varepsilon$）とし、$(T, \mu, \eta) = (GF, G\varepsilon F, \eta)$ をそのモナドとする。

1. （Eilenberg–Moore 圏は終対象）$U^{T}K = G$ かつ $KF = F^{T}$ を満たす関手 $K : \mathcal{D} \to \mathcal{C}^{T}$ がただ一つ存在し、$K(D) = (GD, G(\varepsilon_D))$、$K(g) = G(g)$ で与えられる。$K$ を比較関手という。
2. （Kleisli 圏は始対象）$GL = U_T$ かつ $LF_T = F$ を満たす関手 $L : \mathcal{C}_T \to \mathcal{D}$ がただ一つ存在し、$L(X) = FX$、$L(f) = \varepsilon_{FY} \circ F(f)$（$f : X \to TY$）で与えられる。