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2 つの山と局所的な更新

命題 6.3（「Markov 連鎖 Monte Carlo」§6）・ ✓公理まで証明済み

$S = \{0, 1, \ldots, L\}$ とし、 $P$ を正の確率分布 $\pi$ について可逆で既約な遷移行列で、 $|x - y| \ge 2$ ならば $P(x,y) = 0$ （局所的）であるものとする。 $1 \le m \le L$ が $A = \{0, \ldots, m-1\}$ について $\pi(A) \le \frac12$ を満たすならば

\gamma \le 2\Phi_* \le \frac{2\pi(m)}{\pi(A)}

である。特に $\pi(x) \propto e^{-\beta V(x)}$ で、 $\Delta = V(m) - \min_{x < m}V(x)$ と置くと、 $\gamma \le 2e^{-\beta\Delta}$ であり、 $\gamma^* > 0$ かつ $0 < \varepsilon < \frac12$ のとき $t_{\mathrm{mix}}(\varepsilon) \ge \bigl(\frac12e^{\beta\Delta} - 1\bigr)\ln\frac{1}{2\varepsilon}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Cheeger の不等式✓定理 6.2・Markov 連鎖 Monte Carlo
- Dirichlet 形式とスペクトルギャップ定義 6.1・Markov 連鎖と Poisson 過程
- スペクトルギャップの固有値表示と指数減衰✓命題 6.2・Markov 連鎖と Poisson 過程
  - 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理この先をたどる →
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - レイリー商の最大・最小✓定理 7.1・スペクトル定理
    主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理この先をたどる →
- 可逆な連鎖のスペクトル分解✓補題 2.6・Markov 連鎖 Monte Carlo
  - 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理（上で展開済み）
  - Dirichlet 形式とスペクトルギャップ定義 6.1・Markov 連鎖と Poisson 過程
スペクトルギャップによる混合の評価✓定理 4.3・Markov 連鎖 Monte Carlo
- 可逆な連鎖のスペクトル分解✓補題 2.6・Markov 連鎖 Monte Carlo（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

2 つの山と局所的な更新

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）