荷電共役行列

ワイル表示で $\mathcal{C}=i\gamma^2\gamma^0$ とおき、$\varepsilon=i\sigma^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$、$B=\mathcal{C}\gamma^0=i\gamma^2$ とします。

1. $\mathcal{C}=\mathrm{diag}(\varepsilon,-\varepsilon)$ は実直交行列で、$\mathcal{C}^{\mathsf T}=-\mathcal{C}$、$\mathcal{C}^2=-\mathbb{1}$（したがって $\mathcal{C}^{-1}=-\mathcal{C}$）です。
2. $\mathcal{C}(\gamma^\mu)^{\mathsf T}\mathcal{C}^{-1}=-\gamma^\mu$（$\mu=0,1,2,3$）。
3. 行列 $X$ が $X(\gamma^\mu)^{\mathsf T}X^{-1}=-\gamma^\mu$（$\mu=0,\dots,3$）を満たせば、$X$ は $\mathcal{C}$ の定数倍です。
4. $B=i\gamma^2$ は実対称で $B^2=\mathbb{1}$、$B\gamma^{\mu*}B^{-1}=-\gamma^\mu$ です。また $B$ は $\gamma^5$ と反可換です。
5. $\mathcal{C}\gamma^\mu$ と $\mathcal{C}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$ は対称行列、$\mathcal{C}$、$\mathcal{C}\gamma^5$、$\mathcal{C}\gamma^\mu\gamma^5$ は交代行列です。