Majorana 表現

定理 7.6（「ディラック場の量子化」§7）・ ✓公理まで証明済み

パウリ行列 $\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3$ とクロネッカー積（第 1 因子がブロック添字）で

\tilde\gamma^0=\sigma^1\otimes\sigma^2,\quad\tilde\gamma^1=\mathbb{1}\otimes i\sigma^3,\quad\tilde\gamma^2=i\sigma^2\otimes\sigma^2,\quad\tilde\gamma^3=-\mathbb{1}\otimes i\sigma^1

とおく。

$\tilde\gamma^\mu\tilde\gamma^\nu+\tilde\gamma^\nu\tilde\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu}\mathbb{1}_4$ で、 $\tilde\gamma^0$ はエルミート、 $\tilde\gamma^i$ は反エルミート、4 つともすべて純虚数行列である。
ユニタリ行列 $U$ で $\tilde\gamma^\mu=U\gamma^\mu U^\dagger$ （ $\mu=0,\dots,3$ ）となるものが存在する。
この表示ではディラック演算子 $i\tilde\gamma^\mu\partial_\mu-m$ の係数は実数で、 $\tilde\psi=U\psi$ の実部と虚部は別々にディラック方程式を満たす。また Majorana 条件は、定数位相を除いて $\tilde\psi$ が実であることと同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Pauli の基本定理✓定理 4.4・外積代数・Clifford 代数・超代数
- 複素 Clifford 代数の構造✓定理 4.2・外積代数・Clifford 代数・超代数
  - γ 行列の関係式とトレース✓補題 4.1・外積代数・Clifford 代数・超代数（上で展開済み）
  - Clifford 代数の存在・基底・普遍性✓定理 3.2・外積代数・Clifford 代数・超代数
    単項式の積の公式✓補題 3.1・外積代数・Clifford 代数・超代数
- 行列環の表現✓補題 4.3・外積代数・Clifford 代数・超代数
荷電共役行列✓補題 7.1・ディラック場の量子化
- Pauli の基本定理✓定理 4.4・外積代数・Clifford 代数・超代数（上で展開済み）
- γ 行列の関係式とトレース✓補題 4.1・外積代数・Clifford 代数・超代数
  - 単項式の積の公式✓補題 3.1・外積代数・Clifford 代数・超代数

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。