数学 › 確率論 › 確率測度の弱収束

C([0,1]) における緊密性の判定

命題 3.7（「確率測度の弱収束」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X_n$ を $C([0,1])$ （一様ノルム）に値をとる確率変数の列とし、次を仮定する。

$\lim_{M\to\infty}\sup_nP(|X_n(0)|>M)=0$ 。
任意の $\varepsilon>0$ について $\lim_{\delta\downarrow0}\sup_nP\bigl(w(X_n,\delta)>\varepsilon\bigr)=0$ 。

このとき $X_n$ の分布の族は緊密である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
- C(K) の完備性✓補題 2.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
- 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。