数学 › 数学コラム › ボールウェイン積分

8 番目の積分の厳密値

命題 5.3（「ボールウェイン積分」§5）・ ✓公理まで証明済み

\int_0^\infty \prod_{k=0}^{7}\frac{\sin\bigl(x/(2k+1)\bigr)}{x/(2k+1)}\,dx = \frac{\pi}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\,\pi

であり、これは

\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi = 1.57079632677179604\ldots

に等しく、 $\pi/2$ との差はおよそ $2.3100573 \times 10^{-11}$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ボールウェイン積分の確率表示✓系 4.5・ボールウェイン積分
- 出発点：因子が 1 個のときは箱型関数✓補題 4.3・ボールウェイン積分
  - 符号付きディリクレ積分✓系 3.3・ボールウェイン積分
    置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    ディリクレ積分✓定理 3.2・ボールウェイン積分この先をたどる →
- 因子を 1 つ増やすことは移動平均すること✓定理 4.4・ボールウェイン積分
  - 連続関数に対するフビニの定理✓系 4.3・重積分と累次積分
    連続関数の可積分性✓定理 3.4・重積分と累次積分この先をたどる →
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 出発点：因子が 1 個のときは箱型関数✓補題 4.3・ボールウェイン積分（上で展開済み）
  - 一様密度と畳み込み定義 4.1・ボールウェイン積分
- 一様密度と畳み込み定義 4.1・ボールウェイン積分
- パラメータを含む積分定義 4.2・ボールウェイン積分

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。