一様密度と畳み込み

定義 4.1（「ボールウェイン積分」§4）

$a > 0$ に対して

h_a(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{2a} & (|t| \le a), \\[1mm] 0 & (|t| > a)\end{cases}

と定めます。これは区間 $[-a,a]$ 上の一様分布の確率密度で、 $\int_{\mathbb{R}} h_a = 1$ です。有界可測かつ可積分な $f, g$ に対して畳み込みを

(f * g)(t) = \int_{\mathbb{R}} f(t-u)\,g(u)\,du

で定めます。特に $g = h_a$ のときは

(f * h_a)(t) = \frac{1}{2a}\int_{t-a}^{t+a} f(u)\,du

であり、これは「 $f$ を幅 $2a$ の窓で移動平均する」操作です。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。