数学 › 数学コラム › ボールウェイン積分

余弦因子を掛けた版

命題 6.1（「ボールウェイン積分」§6）・ ✓公理まで証明済み

$n \ge 1$ 、 $a_0 = 1$ とし、 $a_1, \ldots, a_n > 0$ 、 $B = a_1 + \cdots + a_n$ とします。 $S = X_1 + \cdots + X_n$ （ $X_k \sim U[-a_k, a_k]$ 、独立）とすると

\int_0^\infty 2\cos x \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\,dx = \pi\Pr\bigl(0 \le S \le 2\bigr).

特に $B \le 2$ ならばこの値は $\dfrac{\pi}{2}$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

パラメータを含む積分定義 4.2・ボールウェイン積分
ボールウェイン積分の確率表示✓系 4.5・ボールウェイン積分
- 出発点：因子が 1 個のときは箱型関数✓補題 4.3・ボールウェイン積分
  - 符号付きディリクレ積分✓系 3.3・ボールウェイン積分
    置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    ディリクレ積分✓定理 3.2・ボールウェイン積分この先をたどる →
- 因子を 1 つ増やすことは移動平均すること✓定理 4.4・ボールウェイン積分
  - 連続関数に対するフビニの定理✓系 4.3・重積分と累次積分
    連続関数の可積分性✓定理 3.4・重積分と累次積分この先をたどる →
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 出発点：因子が 1 個のときは箱型関数✓補題 4.3・ボールウェイン積分（上で展開済み）
  - 一様密度と畳み込み定義 4.1・ボールウェイン積分
- 一様密度と畳み込み定義 4.1・ボールウェイン積分
- パラメータを含む積分定義 4.2・ボールウェイン積分

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。