数学 › 線形代数学 › 行列の分解と標準形

最小多項式

命題 2.3（「行列の分解と標準形」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(K)$ に対し、 $p(A)=0$ を満たす多項式 $p$ の全体を $\mathfrak a_A$ とする。

モニックで次数最小の $m_A\in\mathfrak a_A$ がただ一つ存在し（最小多項式）、 $\mathfrak a_A$ の元はすべて $m_A$ の倍数である。
$m_A$ は $\varphi_A$ を割り切る。とくに $\deg m_A\le n$ 。
$\lambda\in K$ について、 $m_A(\lambda)=0$ と $\varphi_A(\lambda)=0$ は同値（どちらも $\lambda$ が固有値であること）。
相似な行列は同じ最小多項式をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ケイリー・ハミルトンの定理✓定理 2.1・行列の分解と標準形
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
- 固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル

これを使っている定理証明で参照している 1 件

最小多項式による対角化可能性の判定✓定理 2.4・行列の分解と標準形

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