行列の冪を多項式の剰余で計算する

$M$ を複素係数の正方行列とし、$M^2-tM+dI=0$（零行列）を満たすとする（$2\times2$ 行列では $t=\operatorname{tr}M$、$d=\det M$ がこれを満たす：ケーリー・ハミルトンの定理（系 7.3）［加群と PID 上の構造定理］。特性多項式は 特性多項式（定義 4.1）［固有値と固有ベクトル］）。多項式 $x^n$ を $\chi(x)=x^2-tx+d$ で割った余りを $u_nx+v_n$ とする（多項式の除法の原理（定理 2.2）［多項式の割り算と高次方程式］）と、

である。さらに $u_0=0$、$v_0=1$、$u_{n+1}=tu_n+v_n$、$v_{n+1}=-du_n$。とくに $u_{n+2}=tu_{n+1}-du_n$ で、$\chi$ の解 $\alpha\ne\beta$ に対し $u_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ である。