数学 › フーリエ解析と超関数 › Sobolev 空間

H1/2(𝕋)H^{1/2}(𝕋) の 2 つの表示

定理 8.1（「Sobolev 空間」§8） ・ ✓公理まで証明済み

u∈L2(T)u\in L^2(\mathbb{T}) について、次の 3 つの量は（+∞+\infty を許して）等しい。

2π∑k∈Z∣k∣ ∣u^(k)∣2=12π∫−ππ ⁣ ⁣∫−ππ∣u(θ+t)−u(θ)∣24sin⁡2(t/2) dθ dt=∫D∣∇U∣2 dx dy.2\pi\sum_{k\in\mathbb{Z}}|k|\,|\hat u(k)|^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\!\!\int_{-\pi}^{\pi}\frac{|u(\theta+t)-u(\theta)|^2}{4\sin^2(t/2)}\,d\theta\,dt=\int_{\mathbb{D}}|\nabla U|^2\,dx\,dy .

ここで U(reiθ)=∑ku^(k)r∣k∣eikθU(re^{i\theta})=\sum_k\hat u(k)r^{|k|}e^{ik\theta} は uu の単位円板 D\mathbb{D} への調和拡張（Poisson 積分）である。とくに u∈H1/2(T)u\in H^{1/2}(\mathbb{T}) であることは、これらが有限であることと同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 74 件、定義なども含めて 84 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。