数学 › コンパクト群の表現 › Casimir 作用素と群上のラプラシアン有料章

群上の熱核と指標展開

定理 6.2（「Casimir 作用素と群上のラプラシアン」§6） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 指標の基本性質✓命題 3.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
• Casimir の増大と熱跡の有限性✓補題 5.4・Casimir 作用素と群上のラプラシアン

  • Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン（上で展開済み）
  • 指標の直交関係✓定理 3.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  • 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環

    • 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
  • Lie 群の Haar 測度と Maurer–Cartan 形式✓命題 6.1・Haar 測度

    • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度

      • Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
      • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間 この先をたどる →
      • $I_φ$ のほぼ加法性✓補題 3.5・Haar 測度 この先をたどる →
      • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • Fubini の定理（$C_c$ 版）✓補題 2.2・Haar 測度 この先をたどる →
      • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
      • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
  • コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度

    • モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度

      • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
      • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度（上で展開済み）
    • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度（上で展開済み）
    • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
• Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン

  • 普遍性と随伴作用✓命題 3.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
  • Casimir 元の基底独立性と中心性✓命題 3.4・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
• Peter–Weyl 分解の各成分でラプラシアンは Casimir 値✓定理 5.3・Casimir 作用素と群上のラプラシアン

  • ラプラシアンは不変ベクトル場の 2 乗和✓命題 5.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン

    • コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度（上で展開済み）
  • Casimir 作用素は既約表現上でスカラー✓定理 3.5・Casimir 作用素と群上のラプラシアン（上で展開済み）
• 指標の直交関係✓定理 3.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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