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ラプラス変換とルジャンドル変換

命題 6.3（「カノニカル集団」§6） ・ ✓公理まで証明済み

状態密度を Ω(E)=eS(E)/kB\Omega(E) = e^{S(E)/k_{\mathrm B}}（SS はミクロカノニカルのエントロピー）と書き、S(E)S(E) が EE について上に凸で 2 回微分可能とする。このとき Z(β)=∫Ω(E)e−βE dEZ(\beta) = \int \Omega(E)e^{-\beta E}\,dE の被積分関数は

∂S∂E∣E=E∗=1T=kBβ\frac{\partial S}{\partial E}\bigg|_{E = E^{*}} = \frac{1}{T} = k_{\mathrm B}\beta

を満たす唯一の E∗E^{*} で最大となり、N→∞N\to\infty で

−kBTlog⁡Z=E∗−TS(E∗)+O(log⁡N)-k_{\mathrm B}T\log Z = E^{*} - T S(E^{*}) + O(\log N)

が成り立つ。すなわち F(T)=U−TSF(T) = U - TS という熱力学のルジャンドル変換は、Ω\Omega から ZZ へのラプラス変換の鞍点評価にほかならない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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