水素様原子の Dirac 準位

定理 6.4（「相対論的量子力学」§6）・ ✓公理まで証明済み

$0<\zeta=Z\alpha<\sqrt3/2$ とする。動径方程式の規格化可能な解（ $r\to0$ で $G,F\sim r^{\gamma}$ 、 $\gamma=\sqrt{\kappa^2-\zeta^2}>0$ の正則な解）が存在する $E\in(-m,m)$ は、

E=m\left[1+\frac{\zeta^2}{\left(n_r+\gamma\right)^2}\right]^{-1/2},\qquad n_r=0,1,2,\ldots\ (\kappa>0\text{ のときは }n_r\ge1)

に限られる。主量子数 $n=n_r+|\kappa|$ と全角運動量 $j=|\kappa|-\tfrac12$ で書けば

E_{nj}=m\left[1+\frac{(Z\alpha)^2}{\left(n-\delta_j\right)^2}\right]^{-1/2},\qquad\delta_j=\left(j+\tfrac12\right)-\sqrt{\left(j+\tfrac12\right)^2-(Z\alpha)^2}

で、準位は $n$ と $j$ だけに依存する（ $l=j\pm\tfrac12$ の 2 つの状態は縮退）。とくに基底状態 $1s_{1/2}$ （ $n=1$ 、 $\kappa=-1$ ）は $E=m\sqrt{1-(Z\alpha)^2}$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。