領域の切断による固有値の誤差

上の設定で次が成り立つ。

1. $0 \lt R \lt R'$ なら $E_k(R') \le E_k(R)$。
2. 実数 $E_1 \le \cdots \le E_k$ と実数値の $u_1, \ldots, u_k \in H^1(\mathbb{R})$ が、$\langle u_i, u_j\rangle = \delta_{ij}$ と $$\int_{\mathbb{R}}(u_i'v' + Vu_iv)\,dx = E_i\int_{\mathbb{R}}u_iv\,dx\qquad(\text{台がコンパクトなすべての}\ v \in H^1(\mathbb{R}))$$ を満たすとする（全直線の問題の固有値と固有関数）。$E^{*} = \max_i|E_i|$、$R \gt 1$、$\delta = \sum_{i=1}^{k}\int_{|x| \gt R-1}u_i^2\,dx$ とおく。$\delta \lt 1$ ならば $$E_k(R) \le E_k + \frac{(2E^{*} + 1)\,\delta}{1 - \delta}.$$
3. さらに $|u_i(x)| \le Ce^{-\kappa|x|}$（$i \le k$）なら $\delta \le \dfrac{kC^2}{\kappa}e^{-2\kappa(R-1)}$ で、誤差の上界は $O(e^{-2\kappa R})$ である。
4. $E_1, \ldots, E_k$ が、$H^1_0(-R,R)$（0 で延長）を含む空間 $V$ の上の形式 $a$ について 補題 2.1 の $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ であるとき（$V(x) \to \infty$ の場合）、$E_k \le E_k(R)$ である。