リー群のリー環

定理 5.5（「リー群とリー環」§5）・ ✓公理まで証明済み

$G$ をリー群とします。 $\mathfrak{X}_L(G)$ はベクトル場の括弧積について閉じており、実リー環をなします。したがって命題 5.2 の同型 $\varepsilon$ によって $\mathfrak{g} := T_eG$ にブラケット

[u,v] := \bigl[X^u, X^v\bigr]_e \qquad (u,v \in T_eG)

が定まり、 $\mathfrak{g}$ は $\dim G$ 次元の実リー環になります。これを $G$ のリー環と呼びます。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

左不変ベクトル場定義 5.1・リー群とリー環
左移動による等質性✓命題 3.4・リー群とリー環
- リー群定義 3.1・リー群とリー環
- 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドル
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
    滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
左不変ベクトル場と接空間の対応✓命題 5.2・リー群とリー環
- 左不変ベクトル場定義 5.1・リー群とリー環
- 左移動による等質性✓命題 3.4・リー群とリー環（上で展開済み）

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。