初めて原点に戻る時刻の分布

定理 4.4（「確率の発展」§4）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge1$ とする。ウォークが時刻 $2n$ に初めて原点に戻る確率 $f_{2n}=P(S_1\ne0,\dots,S_{2n-1}\ne0,\ S_{2n}=0)$ は

f_{2n}=u_{2n-2}-u_{2n}=\frac{u_{2n}}{2n-1}=\frac{C_{n-1}}{2^{2n-1}}

である。ここで $C_m=\dfrac1{m+1}\dbinom{2m}m$ は Catalan 数である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。