作図可能な数

定理 7.2（「複素数平面と作図」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{C}$ は $\mathbb{C}$ の部分体で、複素共役と複素数の平方根について閉じている。 $\mathcal{R}$ は $\mathbb{R}$ の部分体（ $\mathbb{Q}$ を含む）で、正の元の平方根について閉じ、 $\mathcal{C}=\mathcal{R}+i\mathcal{R}$ である。
$z=x+iy$ が作図可能であることは、実数の体の列 $\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset\cdots\subset F_m\subset\mathbb{R}$ （各 $F_{j+1}=F_j(\sqrt{D_j})$ 、 $D_j\in F_j$ 、 $D_j\ge0$ ）で、 $x,y\in F_m$ となるものがあることと同値である。すなわち作図可能な数は、 $\mathbb{Q}$ から四則と平方根を有限回くり返して得られる数である。特に $[\mathbb{Q}(x,y):\mathbb{Q}]$ は $2$ のべきである。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

基本的な作図✓補題 7.1・複素数平面と作図
- 共線・直交・正三角形の条件✓命題 3.1・複素数平面と作図
  - 直線と円のベクトル方程式✓命題 5.5・平面ベクトルと座標
    1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
交点の座標は高々 2 次の拡大に入る✓補題 8.1・多項式環と体の拡大
次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大