共線・直交・正三角形の条件

$\omega=e^{2\pi i/3}=\dfrac{-1+i\sqrt3}2$ とする。相異なる 3 点 $a,b,c$ について次が成り立つ。

1. $A,B,C$ が一直線上にある $\iff\dfrac{c-a}{b-a}\in\mathbb{R}$。
2. $AB\perp AC\iff\dfrac{c-a}{b-a}$ が純虚数。
3. 三角形 $ABC$ が正三角形である $\iff\dfrac{c-a}{b-a}=e^{\pm i\pi/3}\iff a+\omega b+\omega^2c=0$ または $a+\omega^2b+\omega c=0$（前者が反時計回り、後者が時計回り）$\iff a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$。