数学 › 未解決問題と大定理 › Navier–Stokes 方程式 II

渦度方程式と伸張項

命題 4.2（「Navier–Stokes 方程式 II」§4） ・ ✓公理まで証明済み

(u,p)(u,p) を Ω×[0,T)\Omega\times[0,T) 上の滑らかな解（d=3d=3）、ω=curl⁡u\omega=\operatorname{curl}u、S=12(∇u+(∇u)T)S=\frac12(\nabla u+(\nabla u)^{\mathsf T})（ひずみ速度テンソル）とする。このとき

∂tω+(u⋅∇)ω=(ω⋅∇)u+νΔω+curl⁡f,\partial_t\omega+(u\cdot\nabla)\omega=(\omega\cdot\nabla)u+\nu\Delta\omega+\operatorname{curl}f,ddt∥ω∥2=2∫Ωω⋅Sω dx−2ν∥∇ω∥2+2⟨curl⁡f,ω⟩.\frac{d}{dt}\|\omega\|^2=2\int_\Omega\omega\cdot S\omega\,dx-2\nu\|\nabla\omega\|^2+2\langle\operatorname{curl}f,\omega\rangle .

u=(u1(x1,x2),u2(x1,x2),0)u=(u_1(x_1,x_2),u_2(x_1,x_2),0) の形の（2 次元の）流れでは (ω⋅∇)u=0(\omega\cdot\nabla)u=0 である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 88 件、定義なども含めて 106 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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