物理学 › 構成的場の理論の原論文：反射正値性・クラスター展開・自明性 › Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)有料章

d = 4 での対数補正の上界（原論文 Proposition 3.1 の d=4 の場合）

定理 6.4（「Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)」§6） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 231 件、定義なども含めて 258 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 微分の上界と平均場の下界（原論文 (3.2)）✓命題 5.3・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)

  • 感受率の微分の公式（GS 場）✓補題 5.1・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)（上で展開済み）
  • 逆数の増分の評価（係数が変わる場合）✓補題 5.2・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)
  • 感受率の平均場下界（GS 場、γ ≥ 1）✓系 5.8・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • Lebowitz からの微分不等式と Gauss 的な上界（(11.29)–(11.32)）✓補題 4.5・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
    • GS 場の無限体積極限✓補題 4.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
  • 感受率の平均場下界✓命題 5.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部

    • 感受率の微分の公式と極限の交換✓補題 5.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部 この先をたどる →
    • 逆数の増分の評価✓補題 5.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
    • 閾値での感受率と相関長の発散✓補題 2.10・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部 この先をたどる →
• バブル図の評価（原論文 (3.8)）✓補題 6.1・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)

  • 赤外評価による 2 次モーメントの上界（(11.26)）✓系 4.7・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • GS 場の無限体積極限✓補題 4.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
    • 赤外評価✓系 7.3・Gauss 型の相関不等式

      • Gauss 支配（Fröhlich–Simon–Spencer）✓定理 7.2・Gauss 型の相関不等式 この先をたどる →
    • 一様な指数減衰（GS 場）✓補題 4.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
  • 座標空間の赤外評価（原論文の式 (5.36)(5.37)）✓定理 5.8・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部

    • 2 点関数の基本性質✓補題 2.1・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部（上で展開済み）
    • 箱の和による点ごとの上界✓補題 3.5・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部

      • MMS 単調性による比較（原論文の式 (5.4)）✓系 3.4・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部 この先をたどる →
    • スライドする赤外評価（原論文 Theorem 5.6）✓定理 5.7・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部 この先をたどる →
    • 1 点の 2 次モーメントの上界（原論文の式 (5.14)(5.15)）✓系 5.3・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部 この先をたどる →
• 感受率の微分の下界（原論文 (3.4)・(4.2)）✓定理 5.4・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)

  • Aizenman–Graham の不等式（Griffiths–Simon 族、原論文 (4.1) の訂正した形）✓定理 4.3・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)

    • ブロック版の交差の重みの分解（原論文 Lemma 7.2）✓補題 4.1・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983) この先をたどる →
    • ブロックに入る重みの評価（原論文 Proposition 7.1 と (7.13)）✓補題 4.2・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983) この先をたどる →
    • ブロック和の畳み込み✓補題 2.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
    • 交わらない糸の重みの性質と、共分散のカレント表示（原論文 (5.10)）✓補題 2.3・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983) この先をたどる →
    • Aizenman–Graham の不等式（Ising 模型、原論文 (4.1′)）✓定理 3.4・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)（上で展開済み）
    • GS 場はブロック Ising 模型の極限（原論文 (10.6)）✓命題 2.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
    • 2 点関数の基本性質✓補題 2.1・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部（上で展開済み）
  • Aizenman–Graham の不等式（Ising 模型、原論文 (4.1′)）✓定理 3.4・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)

    • 交わらない糸の重みの性質と、共分散のカレント表示（原論文 (5.10)）✓補題 2.3・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983) この先をたどる →
    • 交わらない糸の重みの下界（原論文 (6.19)）✓命題 3.3・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983) この先をたどる →
  • 感受率の微分の公式（GS 場）✓補題 5.1・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)（上で展開済み）
  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• 感受率の微分の公式（GS 場）✓補題 5.1・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)

  • 感受率の微分の公式と極限の交換✓補題 5.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部 この先をたどる →
  • 一様な指数減衰（GS 場）✓補題 4.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • Simon の不等式（GS 場、対角を含む形）✓補題 4.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
  • 2 点関数の基本性質✓補題 2.1・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部

    • φ⁴ 型格子場の相関不等式✓定理 4.3・相関不等式 この先をたどる →
  • φ⁴ 型格子場の相関不等式✓定理 4.3・相関不等式 この先をたどる →
  • GS 場の無限体積極限✓補題 4.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• 逆数の増分の評価（係数が変わる場合）✓補題 5.2・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)
• 対数つきの微分不等式の積分（原論文 Lemma 4.1 の積分形）✓補題 6.3・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• φ⁴ 模型の γ = 1（Aizenman–Graham の不等式による。d ≥ 5 では仮定 $K(β_c)<1$ が不要）✓系 6.4・Fröhlich『On the triviality of λφ⁴_d theories』(1982)