数学 › 組合せ論 › 数え上げと母関数

Newton の不等式と実根多項式の単峰性

定理 7.11（「数え上げと母関数」§7） ・ ✓公理まで証明済み

P(x)=∑k=0nakxkP(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k を実係数の nn 次多項式（an≠0a_n\ne0）で、すべての根が実数であるものとする。

  1. すべての 1≤k≤n−11\le k\le n-1 について ak2≥(1+1k)(1+1n−k)ak−1ak+1a_k^2\ge\left(1+\dfrac1k\right)\left(1+\dfrac1{n-k}\right)a_{k-1}a_{k+1} である。とくに ak2≥ak−1ak+1a_k^2\ge a_{k-1}a_{k+1}（対数凹）。
  2. さらにすべての ak≥0a_k\ge0 ならば、係数列 a0,…,ana_0,\dots,a_n は単峰である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件