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熱力学量の抽出公式

命題 5.2（「カノニカル集団」§5） ・ ✓公理まで証明済み

定理 5.1 の設定の下で、次が成り立つ。

U=−∂log⁡Z∂β=kBT2∂log⁡Z∂T,CV=(∂U∂T)V,N=kBβ2∂2log⁡Z∂β2,S=kBlog⁡Z+UT,p=kBT∂log⁡Z∂V,μ=−kBT∂log⁡Z∂N.\begin{aligned} U &= -\frac{\partial \log Z}{\partial \beta} = k_{\mathrm B}T^2 \frac{\partial \log Z}{\partial T}, \\ C_V &= \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V,N} = k_{\mathrm B}\beta^2\frac{\partial^2 \log Z}{\partial \beta^2}, \\ S &= k_{\mathrm B}\log Z + \frac{U}{T}, \qquad p = k_{\mathrm B}T\frac{\partial \log Z}{\partial V}, \qquad \mu = -k_{\mathrm B}T\frac{\partial \log Z}{\partial N}. \end{aligned}

とくに ∂2log⁡Z/∂β2=⟨E2⟩−⟨E⟩2≥0\partial^2 \log Z/\partial\beta^2 = \langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2 \ge 0 であるから、CV≥0C_V \ge 0 が自動的に従う。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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