ルジャンドル変換の対合性

定義 3.1 の仮定と記号のもとで、次が成り立つ。

1. $g$ は $J$ 上 $C^2$ 級で、$g'(p) = -x(p)$、および $g''(p) = -1/f''\bigl(x(p)\bigr) < 0$。特に $g$ は狭義凹である。
2. $g$ から $x = -g'(p)$ によって $p \mapsto x$ の対応を作り（これは $g''< 0$ より狭義単調で全単射）、その逆写像を $p(\cdot)$ と書いて $\tilde f(x) := g\bigl(p(x)\bigr) + p(x)\, x$ と定めると、$\tilde f = f$ が $I$ 上で成り立つ。