物理学 › 量子力学 › 1次元の簡単な系

調和振動子のスペクトル

定理 5.3（「1次元の簡単な系」§5） ・ ✓公理まで証明済み

N^=a^†a^\hat N = \hat a^{\dagger}\hat a の固有値の全体は {0,1,2,…}\{0, 1, 2, \ldots\} に一致する。各固有値は非縮退であり、規格化された固有ベクトル ∣n⟩\lvert n\rangle（N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N\lvert n\rangle = n\lvert n\rangle）は位相を除いて一意に定まり、

a^∣n⟩=n ∣n−1⟩,a^†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩,∣n⟩=(a^†)nn!∣0⟩\hat a\lvert n\rangle = \sqrt{n}\,\lvert n-1\rangle, \qquad \hat a^{\dagger}\lvert n\rangle = \sqrt{n+1}\,\lvert n+1\rangle, \qquad \lvert n\rangle = \frac{(\hat a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\lvert 0\rangle

と取れる。したがってハミルトニアンの固有値は

En=(n+12)ℏω,n=0,1,2,…E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots

であり、準位は間隔 ℏω\hbar\omega で等間隔に並ぶ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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