物理学 › 固体物理 › 結晶構造と格子振動

フォノンへの量子化

定理 6.1（「結晶構造と格子振動」§6） ・ ✓公理まで証明済み

上のハミルトニアンは

H=∑k∈BZN(PkP−k2m+12mωk2QkQ−k)=∑k∈BZNℏωk(ak†ak+12)H=\sum_{k\in\mathrm{BZ}_N}\left(\frac{P_kP_{-k}}{2m}+\frac12m\omega_k^2Q_kQ_{-k}\right) =\sum_{k\in\mathrm{BZ}_N}\hbar\omega_k\left(a_k^\dagger a_k+\frac12\right)

と書ける。ここで ak=mωk2ℏ(Qk+iPkmωk)a_k=\sqrt{\dfrac{m\omega_k}{2\hbar}}\left(Q_k+\dfrac{iP_k}{m\omega_k}\right)（ωk≠0\omega_k\neq0 の kk）は交換関係 [ak,ak′†]=δkk′[a_k,a_{k'}^\dagger]=\delta_{kk'}、[ak,ak′]=0[a_k,a_{k'}]=0 を満たす。したがって HH の固有値は、非負整数の組 {nk}\{n_k\}（フォノンの占有数）により

E{nk}=∑kℏωk(nk+12)E\{n_k\}=\sum_k\hbar\omega_k\left(n_k+\frac12\right)

で与えられる。励起量子 ℏωk\hbar\omega_k をフォノンという。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。