物理学 › 場の量子論 › なぜ場の量子論が必要か

自由スカラー場のモード分解と量子化

定理 7.1（「なぜ場の量子論が必要か」§7） ・ ✓公理まで証明済み

一辺 LL の立方体（体積 V=L3V = L^3、周期境界条件）の中の実スカラー場 ϕ\phi が上の Lagrangian に従うとする。Fourier 展開

ϕ(t,x)=1V∑kqk(t) eik⋅x,k∈2πLZ3,q−k=qk‾\phi(t,\boldsymbol{x}) = \frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\boldsymbol{k}} q_{\boldsymbol{k}}(t)\,e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}, \qquad \boldsymbol{k}\in\frac{2\pi}{L}\mathbb{Z}^3, \qquad q_{-\boldsymbol{k}} = \overline{q_{\boldsymbol{k}}}

を代入すると

L=∑k12(∣q˙k∣2−ωk2 ∣qk∣2),ωk=k2+m2L = \sum_{\boldsymbol{k}}\frac12\left(\lvert\dot q_{\boldsymbol{k}}\rvert^2 - \omega_{\boldsymbol{k}}^2\,\lvert q_{\boldsymbol{k}}\rvert^2\right), \qquad \omega_{\boldsymbol{k}} = \sqrt{\boldsymbol{k}^2+m^2}

となる。すなわち自由場は、モードごとに角振動数 ωk\omega_{\boldsymbol{k}} をもつ独立な調和振動子の集まりと等価である。これを正準量子化すると、[a^k,a^k′†]=δkk′[\hat a_{\boldsymbol k},\hat a^\dagger_{\boldsymbol k'}] = \delta_{\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}'}、他の交換子はゼロ、として

H^=∑kωk(a^k†a^k+12),P^=∑kk a^k†a^k\hat H = \sum_{\boldsymbol{k}}\omega_{\boldsymbol{k}}\left(\hat a^\dagger_{\boldsymbol{k}}\hat a_{\boldsymbol{k}} + \tfrac12\right), \qquad \hat{\boldsymbol{P}} = \sum_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{k}\,\hat a^\dagger_{\boldsymbol{k}}\hat a_{\boldsymbol{k}}

が得られ、エネルギー固有値は（零点エネルギーを除いて）∑knk ωk\sum_{\boldsymbol{k}} n_{\boldsymbol{k}}\,\omega_{\boldsymbol{k}}、nk∈{0,1,2,…}n_{\boldsymbol{k}}\in\{0,1,2,\ldots\} である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。