力学的エネルギー保存則

定理 7.5（「ニュートン力学の基礎」§7）・ ✓公理まで証明済み

$m > 0$ を定数、 $U$ を領域 $D$ 上の $C^1$ 級関数とし、質点が $D$ 内で $C^2$ 級の軌道を描き、運動方程式

m\ddot{\boldsymbol{r}}(t) = -\nabla U(\boldsymbol{r}(t))

を満たすとします。このとき力学的エネルギー

E(t) = \tfrac{1}{2}m|\dot{\boldsymbol{r}}(t)|^2 + U(\boldsymbol{r}(t))

は時間によらず一定です。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

仕事・運動エネルギー定理✓定理 7.2・ニュートン力学の基礎
- 第 2 法則（運動の法則）公理 3.3・ニュートン力学の基礎
連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分
- 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
- 全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分