数学 › 線形代数学 › 行列の固有値評価と不等式

シルヴェスター方程式の可解性

定理 7.1（「行列の固有値評価と不等式」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_m(\mathbb{C})$ 、 $B\in M_n(\mathbb{C})$ とし、 $\mathcal L:M_{m,n}(\mathbb{C})\to M_{m,n}(\mathbb{C})$ を $\mathcal L(X)=AX+XB$ とする。次は同値である。

$\mathcal L$ は全単射、すなわちすべての $C$ に対し $AX+XB=C$ はただ一つの解 $X$ をもつ。
$A$ の固有値と $B$ の固有値の符号を変えたもの $-\mu$ に共通するものがない。すなわち、 $A$ の固有値 $\lambda$ と $B$ の固有値 $\mu$ で $\lambda+\mu=0$ となるものが存在しない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ケイリー・ハミルトンの定理✓定理 2.1・行列の分解と標準形
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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