可解条件と解の個数

$A \in M_{m,n}(K)$、$\boldsymbol{b} \in K^m$ とする。

1. $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ が解をもつことと $\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A \mid \boldsymbol{b}]$ は同値である。解をもたないときは $\operatorname{rank}[A\mid\boldsymbol{b}] = \operatorname{rank}A + 1$ である。
2. 解をもつとき、解集合は $n - \operatorname{rank}A$ 次元のアフィン部分空間 $\boldsymbol{x}_0 + \operatorname{Ker}A$ である。特に解がただ 1 つであることと $\operatorname{rank}A = n$ は同値である。
3. すべての $\boldsymbol{b} \in K^m$ に対して解をもつことと $\operatorname{rank}A = m$ は同値である。