解集合の構造

$A \in M_{m,n}(K)$、$\boldsymbol{b} \in K^m$ とし、$S = \{\boldsymbol{x} \in K^n : A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\}$ とおく。

1. $\boldsymbol{b} \notin \operatorname{Im}A$ ならば $S = \varnothing$ である。
2. $\boldsymbol{x}_0 \in S$ が 1 つ存在すれば、$S = \boldsymbol{x}_0 + \operatorname{Ker}A := \{\boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{z} : \boldsymbol{z} \in \operatorname{Ker}A\}$ である。