数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › ルート系と Weyl 群

Weyl 群の基本定理

定理 6.2（「ルート系と Weyl 群」§6）・ ✓公理まで証明済み

任意の $\beta\in\Phi$ に対し、単純鏡映の積 $w$ で $w\beta\in\Delta$ となるものがある。
$W$ は単純鏡映 $s_\alpha$ （ $\alpha\in\Delta$ ）で生成される。
$W$ は基底全体の集合に推移的に作用する。
$w\in W$ が $n(w)=0$ を満たせば $w=1$ 。特に $w\Delta=\Delta$ なら $w=1$ で、 $W$ は基底全体に単純推移的に作用する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単純鏡映は他の正ルートを置換する✓補題 5.3・ルート系と Weyl 群
削除条件✓補題 6.1・ルート系と Weyl 群
- 単純鏡映は他の正ルートを置換する✓補題 5.3・ルート系と Weyl 群

これを使っている定理証明で参照している 4 件

有限次元既約表現の分類（最高ウェイト定理）✓定理 5.1・最高ウェイト理論
支配的な代表元✓命題 6.4・ルート系と Weyl 群
Cartan 行列はルート系を決める✓命題 7.1・ルート系と Weyl 群
既約性と Dynkin 図の連結性✓補題 7.3・ルート系と Weyl 群

関連するノック 2 問