格子則の誤差と、良い生成ベクトルの存在

定義 6.1 の記号で次が成り立つ。

1. $f$ が各変数について周期 $1$ の連続関数で $\sum_{h\in\mathbb{Z}^d}|\hat f(h)| < \infty$ ならば $$Q_N(f) - \int_{[0,1]^d}f(x)\,dx = \sum_{h\in L^\perp\setminus\{0\}}\hat f(h).$$
2. $\alpha > 1$、$C > 0$ とし、周期 $1$ の連続関数で $|\hat f(h)| \le C\,r(h)^{-\alpha}$（すべての $h$）を満たすものの全体を $E_\alpha(C)$ とする。このとき $$\sup_{f\in E_\alpha(C)}\Bigl|Q_N(f) - \int_{[0,1]^d}f\Bigr| = C\,P_\alpha(g, N), \qquad P_\alpha(g, N) = \sum_{h\in L^\perp\setminus\{0\}}r(h)^{-\alpha}.$$
3. $N$ を素数で $N \ge 3$ かつ $1 + 1/\ln N \le \alpha$ を満たすものとする。このとき $g \in \{0, 1, \ldots, N-1\}^d$ で $$P_\alpha(g, N) \le (2e)^\alpha\,\frac{(3 + 2\ln N)^{\alpha d}}{N^\alpha}$$ を満たすものが存在する。