キャッシュのキーの健全性

命題 7.2（「ビルドと依存関係」§7）・ ✓公理まで証明済み

2 つのビルドの記述（同じものでもよい）がともに密閉的で、定義の直列化が等しいタスクは同じ依存の並びと同じ関数をもつ（ $\delta_t = \delta_{t'}$ ならば $f_t = f_{t'}$ ）とする。 $H$ は、現れる値と符号化の全体の上で単射とする。

(a) $\kappa(t, s) = \kappa(t', s')$ ならば、ストア $s$ のもとで $t$ を実行した出力と、ストア $s'$ のもとで $t'$ を実行した出力は等しい。したがって、キャッシュに $\kappa(t, s)$ の項目があればその値を使ってよく、結果は再実行した場合と変わらない。

(b) 入力の状態 $x$ に対し、キーを再帰的に

k_x(i) = H\bigl(\mathrm{enc}(\texttt{input}, x(i))\bigr)\ \ (i \in I), \qquad k_x(t) = H\Bigl(\mathrm{enc}\bigl(\delta_t,\ (k_x(u))_{u \in D(t)}\bigr)\Bigr)\ \ (t \in T)

と定める。 $k_x(t) = k_{x'}(t')$ ならば、ビルドの結果について $v_x(t) = v_{x'}(t')$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

密閉性定義 2.2・ビルドと依存関係
完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術
- 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術
  - 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
  - 整列性公理 3.1・証明の技術
クリーンビルドの一意性✓定理 4.1・ビルドと依存関係
- トポロジカル順の存在と計算✓定理 3.2・ビルドと依存関係
  - 2 つの表現の計算量✓命題 2.6・グラフアルゴリズム
    握手補題✓補題 2.5・グラフアルゴリズム
  - 閉路のないグラフには入次数 0 の頂点がある✓補題 3.1・ビルドと依存関係
    鳩の巣原理✓定理 7.5・数え上げと母関数この先をたどる →
  - 灰色頂点の構造✓補題 4.1・グラフアルゴリズム
  - 有向閉路の検出✓定理 4.2・グラフアルゴリズム
    灰色頂点の構造✓補題 4.1・グラフアルゴリズム
    2 つの表現の計算量✓命題 2.6・グラフアルゴリズム（上で展開済み）
- 密閉性定義 2.2・ビルドと依存関係
- 完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

キャッシュのキーの健全性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）