誤差の 3 項への分解

命題 2.3（「精度の選び方」§2）・ ✓公理まで証明済み

$I\subset\mathbb{R}$ を開区間、 $f,f_h:I\to\mathbb{R}$ 、 $x,\hat x\in I$ 、 $\hat y\in\mathbb{R}$ とする。このとき

|\hat y-f(x)|\le\underbrace{|\hat y-f_h(\hat x)|}_{\text{丸め}}+\underbrace{|f_h(\hat x)-f(\hat x)|}_{\text{打ち切り}}+\underbrace{|f(\hat x)-f(x)|}_{\text{データ}}

である。さらに、各項は次のように評価できる。

（丸め） $f_h$ が $I$ 上微分可能で $|f_h'|\le L_h$ とする。 $\hat y=f_h(\hat x+\Delta)$ , $\hat x+\Delta\in I$ , $|\Delta|\le\eta|\hat x|$ となる $\Delta$ がある（ $f_h$ の計算の後退誤差が $\eta$ 以下）ならば、 $|\hat y-f_h(\hat x)|\le L_h\,|\hat x|\,\eta$ 。
（打ち切り）定数 $C\ge0$ , $q\gt0$ があってすべての $z\in I$ で $|f_h(z)-f(z)|\le Ch^q$ ならば、 $|f_h(\hat x)-f(\hat x)|\le Ch^q$ 。
（データ） $f$ が $I$ 上微分可能で $|f'|\le L$ 、 $|\hat x-x|\le\varepsilon|x|$ ならば、 $|f(\hat x)-f(x)|\le L\,|x|\,\varepsilon$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。