物理学 › 場の量子論 › ディラック場の量子化

ディラック場のハミルトニアン・運動量・電荷

定理 4.3（「ディラック場の量子化」§4） ・ ✓公理まで証明済み

定義 4.1 の下で、正規順序を取ったハミルトニアン、運動量、電荷

H=∫d3x :ψˉ(−iγi∂i+m)ψ:,P=∫d3x :ψ†(−i∇)ψ:,Q=∫d3x :ψ†ψ:H = \int d^3x\,{:}\bar\psi(-i\gamma^i\partial_i + m)\psi{:},\qquad \boldsymbol P = \int d^3x\,{:}\psi^\dagger(-i\nabla)\psi{:},\qquad Q = \int d^3x\,{:}\psi^\dagger\psi{:}

は

H=∫d3p(2π)3∑sωp(aps†aps+bps†bps),P=∫d3p(2π)3∑sp(aps†aps+bps†bps),H = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sum_s\omega_{\boldsymbol p}\left(a^{s\dagger}_{\boldsymbol p}a^s_{\boldsymbol p} + b^{s\dagger}_{\boldsymbol p}b^s_{\boldsymbol p}\right),\qquad \boldsymbol P = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sum_s\boldsymbol p\left(a^{s\dagger}_{\boldsymbol p}a^s_{\boldsymbol p} + b^{s\dagger}_{\boldsymbol p}b^s_{\boldsymbol p}\right),Q=∫d3p(2π)3∑s(aps†aps−bps†bps)Q = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sum_s\left(a^{s\dagger}_{\boldsymbol p}a^s_{\boldsymbol p} - b^{s\dagger}_{\boldsymbol p}b^s_{\boldsymbol p}\right)

となります。特に H≥0H\ge0 で真空は基底状態であり、aps†a^{s\dagger}_{\boldsymbol p} と bps†b^{s\dagger}_{\boldsymbol p} はいずれもエネルギー ωp\omega_{\boldsymbol p}、運動量 p\boldsymbol p の粒子を作ります。その電荷はそれぞれ +1+1、−1-1 です。また [H,aps]=−ωpaps[H,a^s_{\boldsymbol p}] = -\omega_{\boldsymbol p}a^s_{\boldsymbol p} で、場の時間依存性 e∓ip⋅xe^{\mp ip\cdot x} はハイゼンベルク方程式 ∂tψ=i[H,ψ]\partial_t\psi = i[H,\psi] と整合します。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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